<!DOCTYPE html>
<html lang="zh-cn">
<head>
    <title>方程的导出</title>
    <meta charset="utf-8" />
    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/note.css" />
</head>
<body>

<h2>二阶偏微分方程的分类</h2>

<p>	全书主要围绕三个方程:
	<span class="formula">
		波动方程 (弦振动方程) `(del^2 u)/(del t^2) - a^2 Delta u = f`<br/>
		扩散方程 (热传导方程) `(del u)/(del t) - a^2 Delta u = f`<br/>
		位势方程 `-Delta u = f`
	</span>
</p>

<h3>弦振动方程——动量守恒</h3>

<h4>物理模型</h4>

<p>一均匀细弦在拉紧后离开平衡位置,
在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动, 求不同时刻弦线的形状.</p>

<h4>解释</h4>

<table>
	<tr>
		<td>弦</td>
		<td>要充分柔软, 只抗伸长, 不抗弯曲</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>均匀</td>
		<td>线密度为常数</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>细</td>
		<td>长度远大于直径</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>横振动</td>
		<td>运动发生在同一平面内, 各点位移与平衡位置垂直</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>微小</td>
		<td>弦上一点切线与平衡位置的夹角 `alpha &#8810; 1`, `sin alpha ~
			tan alpha`. 沿弦张力为常数.
		</td>
	</tr>
</table>

<h4>记号</h4>

<table>
	<tr>
		<td>时刻</td>
		<td>`t in [t_1, t_2]`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>弦上一点</td>
		<td>`x in [a, b]`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>位移</td>
		<td>`u(x,t), x in (0, l), t in (0, +oo)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>线密度</td>
		<td>`rho = "const"`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>垂直强迫外力密度</td>
		<td>`f_0(x, t)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>沿弦张力</td>
		<td>`T_0 = "const"`</td>
	</tr>
</table>

<h4>动量守恒</h4>

<span class="formula">
	动量`{::}_(t_2)`  - 动量`{::}_(t_1)` = 冲量`{::}_("["t_1, t_2"]")`
</span>

<h4>推导</h4>

<p>	利用垂直平衡位置方向上的动量守恒, 有
	<span class="formula">
		`int_a^b [rho (del u)/(del t)]_(t_1)^(t_2) dx`
		`- int_(t_1)^(t_2) [T_0 (del u)/(del x)]_a^b dt`
		`= int_(t_1)^(t_2) dt int_a^b f_0 dx`.
		(积分形式)
	</span>
	若在 `(0, l) times (0, +oo)` 上, `(del^2 u)/(del t^2)` 和 `(del^2
	u)/(del x^2)` 存在且连续, 则由被积函数的连续性与积分区域的任意性,
	积分方程化为
	<span class="formula">
		`rho (del^2 u)/(del t^2) - T_0 (del^2 u)/(del x^2) = f_0`,
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`(del^2 u)/(del t^2) - a^2 (del^2 u)/(del x^2) = f(x, t)`,<br/>
		`x in (0, l)`, `t in (0, +oo)`
		(微分形式)
	</span>
</p>

<h4>定解条件</h4>

<ol>
	<li>初值问题 (Cauchy 问题)
		<span class="formula">
			`{
				u|_(t=0) = varphi(x);
				u_t|_(t=0) = psi(x);
			:}, x in [0, l]`.
		</span>
	</li>
	<li>第一边值条件 (Dirichlet 条件) `{
			u|_(x=0) = g_1(t);
			u|_(x=l) = g_2(t);
		:}`, `t in [0, +oo)`.<br/>
		`g_1(t) = g_2(t) = 0` 时, 称弦线具有<b>固定端</b>.
	</li>
	<li>第二边值条件 (Newmann 条件) `{
			u_x|_(x=0) = g_1(t);
			u_x|_(x=l) = g_2(t);
		:}`, `t in [0, +oo)`.<br/>
		`g_1(t) = g_2(t) = 0` 时, 称弦线具有<b>自由端</b>.
	</li>
	<li>第三边值条件 (Robin 条件) `{
			[beta_1 u_x + alpha_1 u]_(x=0) = g_1(t);
			[beta_2 u_x + alpha_2 u]_(x=l) = g_2(t);
		:}`, `t in [0, +oo)`.
	</li>
</ol>

<p>	由初始条件和任一边界条件连同微分方程, 组成一个<b>混合问题</b>.
	若边界的影响忽略不计, 则可以认为弦长无穷, 这时 `x in (-oo, +oo)`, 
	由初始条件和微分方程组成一个<b>初值问题</b> (<b>Cauchy 问题</b>).
	类似可定义<b>半无界问题</b> (`x in [0, +oo)`).
</p>

<h3>热传导方程——能量守恒</h3>

<h4>物理模型</h4>

<p>	考虑三维空间中一均匀, 各向同性的物体, 假定它内部有热源,
	并与周围发生热交换, 研究物体内部温度的分布与变化.
</p>

<h4>记号</h4>

<table>
	<tr>
		<td>时刻</td>
		<td>`t in [t_1, t_2]`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>小块物体</td>
		<td>`D sube Omega`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>温度</td>
		<td>`u(x, y, z, t)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>比热容 `("J"*"kg"^-1*"K"^-1)`</td>
		<td>`c = "const"`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>密度</td>
		<td>`rho = "const"`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>热流密度 `("W"*"m"^-2)`</td>
		<td>`bm q = -k grad u` (Fourier's law)</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>热源强度 `("J"*"kg"^-1*"s"^-1)`</td>
		<td>`f_0(x, y, z, t)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`del D` 上的小块面积</td>
		<td>`"d" sigma`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`del D` 的单位外法向量</td>
		<td>`bm n`</td>
	</tr>
</table>

<h4>能量守恒</h4>

<span class="formula">
	能量`{::}_(t_2)`  - 能量`{::}_(t_1)` = 通过边界 `del D`
	流入的热量`{::}_("["t_1, t_2"]")` + `D` 中热源生成的热量`{::}_("["t_1,
	t_2"]")`.
</span>

<h4>推导</h4>

<p>	由能量守恒有
	<span class="formula">
		` iiint_D [c rho u]_(t_1)^(t_2) dx dy dz
		= -int_(t_1)^(t_2) dt oiint_(del D) bm q * bm n "d" sigma
		  +int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D rho f_0 dx dy dz`,
	</span>
	(负号表示与外法向 `bm n` 相反),
	再由 `bm q = -k grad u` 得
	`-bm q * bm n = k grad u * bm n = k (del u)/(del bm n)`, 即
	<span class="formula">
		` iiint_D [c rho u]_(t_1)^(t_2) dx dy dz
		- int_(t_1)^(t_2) dt oiint_(del D) k (del u)/(del bm n) "d"sigma
		= int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D rho f_0 dx dy dz`. (积分形式)
	</span>
	设在 `Omega xx (0,+oo)` 内 `(del u)/(del t)`, `(del^2 u)/{:del x:}^2`,
	`(del^2 u)/{:del y:}^2`, `(del^2 u)/{:del z:}^2` 存在且连续, 则由
	Gauss 公式
	<span class="formula">
		`oiint_(del D) (del u)/(del bm n) "d"sigma = iiint_D Delta u dx dy
		dz`
	</span>
	以及被积函数连续性与积分区域的任意性, 方程化为 `c rho (del u)/(del t)
	- k Delta u = rho f_0`, 即
	<span class="formula">
		`(del u)/(del t) - a^2 Delta u = f(x, y, z, t)` (微分形式)
	</span>
</p>

<h4>定解条件</h4>

<ol>
	<li>初值条件 `u|_(t=0) = varphi(x, y, z)`, `(x, y, z) in bar Omega`.
	</li>
	<li>第一边值条件 `u|_((x,y,z) in del Omega) = g(x,y,z,t)`<br/>
		`g` 为常数时, 称边界<b>恒温</b>.
	</li>
	<li>第二边值条件 `k (del u)/(del bm n)|_((x,y,z) in del Omega)
		= g(x,y,z,t)`<br/>
		`g ge 0` 为流入, `g le 0` 为流出, `g -= 0` 表示物体<b>绝热</b>.
	</li>
	<li>第三边值条件 `(del u)/(del bm n) + alpha u|_((x,y,z) in del Omega)
		= g(x,y,z,t)`.
	</li>
</ol>

<h3>连续性方程——质量守恒</h3>

<h4>物理模型: 流体的运动 (满足质量守恒)</h4>

<h4>记号</h4>

<table>
	<tr>
		<td>小块区域</td>
		<td>`D sube Omega`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>时刻</td>
		<td>`t in [t_1, t_2]`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>密度</td>
		<td>`rho`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>速度</td>
		<td>`bm v`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>表面小块</td>
		<td>`"d"sigma sube del D`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>单位外法向量</td>
		<td>`bm n`</td>
	</tr>
</table>

<h4>质量守恒定律</h4>

<span class="formula">
	质量`{::}_(t_2)`  - 质量`{::}_(t_1)` = 流入质量 `{::}_("["t_1,
	t_2"]")` + 生成质量`{::}_("["t_1, t_2"]")`.
</span>

<h4>推导</h4>

<p>	假设流体在 `Omega` 内无源 (汇), 则右端第二项为 0. 由质量守恒定律:
	<span class="formula">
		` iiint_D [rho]_(t_1)^(t_2) dx dy dz
		= -int_(t_1)^(t_2) dt oiint_(del D) rho bm v * bm n "d"sigma`
	</span>
	(负号表示与 `bm n` 反向). 设 `rho, bm v` 连续可微, 由 Gauss 公式,
	<span class="formula">
		` int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D (del rho)/(del t) dx dy dz
		= -int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D grad * (rho bm v) dx dy dz`,
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`int_(t_1)^(t_2) dt iiint_D ((del rho)/(del t) + grad * (rho bm
		v)) dx dy dz = 0`. (积分形式)
	</span>
	由被积函数在 `Omega` 内连续和积分区域的任意性, 得
	<span class="formula">
		`(del rho)/(del t) + grad * (rho bm v) = 0`,
		`Omega xx (0, oo)`. (微分形式)
	</span>
</p>

<h4>定解条件</h4>

<p>	将在第 4 章讨论.</p>

<h3>方程的特例</h3>

<ol class="enum">
	<li>波动方程中, 考虑外力作用下处于平衡状态 (与时间 `t` 无关) 的膜,
		由惯性力 `rho (del^2 u)/(del t^2) = 0` 得
		<span class="formula">
			`-a^2 Delta u = f(x_1, x_2)`.
		</span>
		称为 <b>Poisson 方程</b>. 当 `f -= 0` 时称为 <b>Laplace 方程</b>.
	</li>
	<li>热传导方程中, 如果物体内部的温度趋于稳定, 即 `(del u)/(del t) =
		0`, 此时温度场 `u(x,y,z)` 与 `t` 无关:
		<span class="formula">
			`-a^2 Delta u = f(x,y,z)`, `(x,y,z) in Omega`.
		</span>
		仍得到 Poisson 方程.
	</li>
	<li>连续性方程中
		<ol>
			<li>`bm v` 为常向量时, 得到一阶 pde:
				<span class="formula">
					`(del rho)/(del t) + bm v * grad rho = 0`.
				</span>
			</li>
			<li>流体不可压缩, 即 `rho` 为常数时:
				<span class="formula">
					`grad * bm v = 0`.
				</span>
				此方程反映了流体无源.
			</li>
			<li>流体不可压缩且无旋时, 存在势函数 `varphi`, 使 `bm v = grad
				varphi`, 从而
				<span class="formula">
					`Delta varphi = grad * grad varphi = grad * bm v = 0`,
				</span>
				即 `varphi` 适合 Laplace 方程.
			</li>
		</ol>
	</li>
</ol>

<h2>变分问题: 泛函极值问题</h2>

<p>	设 `Omega sube RR^2`, 定义
	<span class="formula">
		`C_0^oo(Omega) = { f in C^oo(Omega): f|_(del Omega) = 0}`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	一个数学物理问题的解如果存在, 唯一且稳定, 则称该问题是<b>适定的
	(well-posed)</b>; 否则称它是<b>不适定的 (ill-posed)</b>.
</p>

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
